Sarhoş Adam Eve Döner, Sarhoş Kuş Dönmez

Bölüm metni

Bir sokak lambasının altında sarhoş bir adam düşünün: her adımda hangi yöne gideceğine yazı tura atarak karar veriyor, sonsuza kadar. Matematik diyor ki bu adam er ya da geç lambanın dibine geri dönecek — hem de kesinlikle. Ama aynı oyunu havada, üç boyutta oynayan bir kuşun geri dönme şansı yalnızca üçte bir; gerisi sonsuza kadar uzaklaşmak.

Gece yarısını çoktan geçmiş bir sokak düşünün. Tek bir sokak lambası yanıyor, ışığı ıslak asfaltın üzerine sarı bir daire çiziyor ve o dairenin tam ortasında bir adam duruyor. Adamın evi bu sokakta, hatta belki yüz adım ötede. Ama adamın bir sorunu var: hangi yöne gideceğini seçemiyor. Attığı her adımda cebinden bir madenî para çıkarıyor, havaya atıyor, yazı gelirse bir adım sağa, tura gelirse bir adım sola gidiyor. Sonra tekrar. Sonra tekrar. Ne bir hedefi var, ne bir hafızası. Az önce nereden geldiğini hatırlamıyor, bir sonraki adımın nereye düşeceğini bilmiyor.

Matematikçiler bu yürüyüşe rastgele yürüyüş diyorlar ve bu, ilk bakışta sanıldığından çok daha ciddi bir konu. Çünkü o sarhoş adam aslında bir metafor. Bir su bardağının içindeki mürekkep damlasının her bir molekülü tam olarak böyle yürüyor. Bir hücrenin sitoplazmasında amacını arayan bir protein böyle yürüyor. Bir hisse senedinin fiyatı, kaba bir yaklaşımla, böyle yürüyor. Doğa, yön duygusu olmayan bu yürüyüşü şaşırtıcı biçimde çok seviyor.

Şimdi ilk soruyu soralım. Adam yeterince uzun süre yürürse başlangıç noktasından ne kadar uzaklaşır? Sezgi genellikle şunu fısıldar: hiç uzaklaşmaz, çünkü sağa gittiği kadar sola da gidecektir, hepsi birbirini götürür. Sezgi burada yarı yarıya haklı. Ortalama konumu gerçekten de başladığı yerdir, evet. Ama ortalama konum aldatıcı bir ölçüdür, çünkü sağa 50 adım gitmiş bir yürüyüşle sola 50 adım gitmiş bir yürüyüşün ortalaması sıfırdır ve bu sıfır, iki yürüyüşün de kimseyi başlangıç noktasında bulamayacağı gerçeğini örter. Doğru soru şu: adam ortalama olarak evinden ne kadar uzakta olur, yönü hiç umursamadan?

Cevap şaşırtıcı derecede zarif. Attığı adım sayısının karekökü kadar. 100 adım atarsa tipik olarak 10 adım uzakta olur. 10 bin adım atarsa 100 adım uzakta. Yani uzaklaşır, ama tembelce uzaklaşır. Mesafeyi 10 katına çıkarmak için adım sayısını 100 katına çıkarmanız gerekir. Rastgelelik ilerler, ama sürünerek ilerler.

Bu problemin bilim tarihine resmî girişi, 1905 yılında, hiç beklenmeyecek bir yerden oldu. İngiliz istatistikçi Karl Pearson, bilim dergisi Nature'a, yani Doğa dergisine kısa bir mektup yazdı. Mektupta neredeyse bir yardım çağrısı vardı: bir varlık bir noktadan yola çıkıp rastgele bir yöne belli bir mesafe gitse, sonra durup yine rastgele bir yöne dönüp aynı mesafeyi gitse ve bunu defalarca tekrarlasa, belli bir süre sonra başlangıçtan şu kadar uzakta bulunma olasılığı nedir? Pearson bunu soyut bir eğlence olsun diye sormuyordu; canlı türlerinin bir bölgeye nasıl yayıldığını, örneğin sivrisineklerin bir araziye nasıl dağıldığını modellemeye çalışıyordu.

Cevap bir hafta bile beklemedi. Lord Rayleigh dergiye kısa bir not gönderdi ve nazikçe, bu problemi kendisinin 25 yıl önce tamamen başka bir bağlamda çözdüğünü hatırlattı. Rayleigh, rastgele fazlara sahip çok sayıda ses dalgasının üst üste binmesini incelerken aynı matematiği kurmuştu. Yani doğa aynı deseni bir kez sivrisineklerde, bir kez ses dalgalarında kullanıyordu ve kimse fark etmemişti.

Pearson bunun üzerine, o meşhur cümleyi kurdu. Rayleigh'in çözümünün asıl dersi şuydu diye yazdı: açık arazide, ayakta durmayı hâlâ becerebilen sarhoş bir adamı aramanız gereken en olası yer, onu bıraktığınız yerin yakınlarıdır. Aramaya oradan başlayın.

İşte sarhoş adam bilim literatürüne böyle girdi. Ama Pearson'ın sorduğu soru hâlâ eksikti. O soru "nerededir" sorusuydu. Asıl derin soru daha sorulmamıştı: bu adam, sonsuza kadar yürümeye devam etse, hiç eve döner mi? Sadece bir kez, tek bir kez, o sokak lambasının altına geri basar mı?

Bu soruyu soran adam, Macar matematikçi George Pólya oldu. Ve Pólya'nın kendi anlattığına göre soru ona bir masa başında değil, bir ormanda geldi.

Pólya o sırada Zürih yakınlarında bir otelde kalıyordu. Öğleden sonraları oteli çevreleyen ormanda yürüyüşe çıkıyordu. O ormanda nişanlı bir çift de yürüyordu. Ve Pólya, patika patika, dönemeç dönemeç, o çiftle tekrar tekrar karşılaştı. Bir kez, iki kez, üç kez. Bir noktada gerçekten utandı; çiftin, kendisinin onları kasten takip ettiğini düşünmesinden korktu. Sonra matematikçi refleksi devreye girdi. Otelden aynı anda çıkan, birbirinden bağımsız hareket eden iki yürüyüşçünün bu kadar sık karşılaşması gerçekten ne kadar olasıydı? Onları rastgele yürüyen iki nokta gibi düşünürsek, bu tesadüfler beklenmedik miydi, yoksa kaçınılmaz mıydı?

1921'de yayımlanan makalesinde Pólya bu soruyu son derece keskin bir biçime soktu ve cevabı, matematiğin en güzel sonuçlarından biri oldu. Cevabın kalbinde tek bir kelime var: boyut.

Önce en basit durum, yani tek boyut. Sarhoş adamımız sadece bir sokak boyunca, ileri geri gidiyor. Pólya'nın gösterdiği şey şu: bu adam kesinlikle eve döner. Olasılık yüzde 99 değil, yüzde 99,99 değil, tam olarak 1. Yani matematiksel kesinlik. Üstelik iş bununla da bitmiyor. Döndükten sonra yürümeye devam ederse yine döner. Ve yine. Sonsuz kere döner. O adam, o sokak lambasının altına sonsuz sayıda kez basacaktır.

Nedeni, adımların sayısıyla olasılıkların nasıl eridiği arasındaki ince bir yarışta gizli. Bir yürüyüşün eve dönüp dönmediğini anlamanın zekice bir yolu var: kaç kez döndüğünü saymak. Yürüyüşün her bir anı için "tam bu anda evde olma olasılığı" diye bir sayı yazın ve bu sayıların hepsini toplayın. Bu toplam, yürüyüş boyunca beklenen ziyaret sayısını verir. Eğer bu toplam sonsuza gidiyorsa, yürüyüş eve sonsuz kez uğruyor demektir; dolayısıyla dönüş kesindir. Eğer toplam sonlu bir sayıda duruyorsa, yürüyüş eve ancak birkaç kez uğrar ve sonra sonsuza dek kaybolur.

Şimdi o olasılıklara bakalım. Tek boyutta, çok sayıda adım attıktan sonra tam başlangıç noktasında bulunma olasılığı kabaca adım sayısının kareköküyle ters orantılıdır. Bu sayılar küçülür, evet, ama yeterince yavaş küçülürler. Toplandıklarında toplam sonsuza gider. Adam döner.

İki boyuta geçelim. Artık adam bir sokakta değil, sonsuz büyüklükte bir şehir ızgarasında. Her köşede dört seçeneği var: kuzey, güney, doğu, batı. Sezgi burada isyan eder. Dört yön var, kaybolma ihtimali çok daha yüksek görünüyor. Ama Pólya'nın sonucu değişmez. İki boyutta da dönüş olasılığı tam olarak 1'dir. Şehir sonsuz büyük olsa bile o adam evini bulur, hem de sonsuz kere bulur.

Buradaki hesap kıl payı geçer. İki boyutta, çok sayıda adım sonra başlangıç noktasında bulunma olasılığı, adım sayısıyla ters orantılıdır. Bu sayılar tek boyuttakinden çok daha hızlı erir. Ama yine de, tam sınırda, toplamları sonsuza gider. Matematikte bu, ünlü harmonik toplamın ıraksaması dediğimiz durumdur ve iki boyutlu yürüyüş, sadece ve sadece bu ıraksama sayesinde kurtulur.

Ama bu kesinliğin çok acımasız bir bedeli var, çünkü kesinlik hızla ilgili hiçbir şey söylemez. İki boyutta adamın eve dönmesi kesindir, fakat eve dönmesi için beklenen adım sayısı sonsuzdur. Bir düşünün: kesinlikle olacak bir olayın beklenen bekleme süresi sonsuz. Bu bir çelişki değil. Şu demek: adam neredeyse her seferinde makul bir sürede döner, ama arada bir öyle uzun, öyle uzak, öyle geniş dolaşmalar yaşanır ki bunlar ortalamayı tek başlarına havaya uçurur. Ona söz verebilirsiniz, döneceksin diyebilirsiniz. Ne zaman döneceğini söyleyemezsiniz.

Ve sonra üçüncü boyut geliyor. Yerçekimini kaldırın, adamı havaya bırakın; artık yukarı ve aşağı da seçenek. Altı yön. Yürüyüş bir kuşun uçuşuna dönüşüyor.

Ve büyü bozuluyor.

Üç boyutta, çok sayıda adım sonra başlangıç noktasında bulunma olasılığı, adım sayısının karekökünün küpüyle ters orantılı olarak erir. Bu, artık kritik eşiğin öbür tarafıdır. Bu sayılar toplandığında toplam sonsuza gitmez; sonlu bir sayıya yakınsar. Yani üç boyutlu yürüyüş, yuvasını ancak sonlu sayıda kez ziyaret eder ve ondan sonra bir daha asla dönmemek üzere uzaklaşır.

Sayı da bellidir ve matematikte kendi adıyla anılır: üç boyutlu bir rastgele yürüyüşün başlangıç noktasına en az bir kez geri dönme olasılığı yaklaşık yüzde 34'tür. Daha kesin söylersek yüzde 34,05. Yani yolculuğuna başlayan bir kuşun yüzde 66'lık ezici çoğunluğu, o noktayı bir daha hayatı boyunca görmez. Bu sayının kapalı bir formülle, gama fonksiyonları cinsinden yazılabildiği ancak 1970'lerde gösterildi; sayının kendisi ise bir buçuk asra yaklaşan bir süredir fizikçilerin kristal örgülerdeki hesaplarında karşılarına çıkıyordu.

Boyut arttıkça durum daha da acımasızlaşır. 4 boyutta dönüş olasılığı yüzde 19'a, 8 boyutta yüzde 7'ye iner ve boyut büyüdükçe kabaca boyutun iki katının tersine yaklaşır. Yani sonsuz boyutlu bir evrende hiçbir şey hiçbir yere geri dönmez.

Bütün bu sonuç, yıllar sonra Japon asıllı matematikçi Shizuo Kakutani'nin tek bir cümlesinde damıtıldı; bugün olasılık kitaplarının en çok tekrarlanan cümlesi olmuştur: sarhoş bir adam eve dönme yolunu bulur, ama sarhoş bir kuş sonsuza dek kaybolabilir.

Bu, kulağa hoş bir matematik fıkrası gibi gelebilir. Değil. Bu, içinde yaşadığımız evrenin bir tasarım kısıtı ve doğa milyarlarca yıldır bu kısıtla pazarlık ediyor.

Çünkü moleküller de sarhoş kuşlardır. Einstein'ın 1905'te ortaya koyduğu ve Jean Perrin'in birkaç yıl sonra mikroskop altında tek tek parçacıkların zikzaklarını ölçerek doğruladığı şey tam olarak buydu: bir sıvıdaki asılı parçacık, çevresindeki moleküllerin çarpmalarıyla rastgele yürür ve kat ettiği tipik mesafe, geçen sürenin kareköküyle büyür. Perrin bu ölçümlerle atomların gerçekliğini tartışmaya kapattı. Ama aynı ölçüm, sessizce, çok daha rahatsız edici bir şeyi de söylüyordu. Üç boyutlu bir sıvıda salıverilen bir molekül, bıraktığınız noktaya büyük olasılıkla bir daha uğramaz. Uzayda kaybolur.

Şimdi bunun bir hücre için ne anlama geldiğini düşünün. Hücrenin içinde, birbirini bulmak zorunda olan iki molekül var. İkisi de sarhoş, ikisi de üç boyutta yürüyor. Kaybolmaları kural, buluşmaları istisna. Kimyanın diliyle söylersek, üç boyutlu difüzyonla kontrol edilen bir tepkimenin hızının bir üst sınırı vardır ve bu sınır, hayatın bazı işleri yapması için fazlasıyla yavaştır.

Doğanın buna verdiği cevap, bu bölümün en güzel fikri: eğer üç boyut çok cömert bir kaçış imkânı sunuyorsa, boyutu düşür.

1968'de Manfred Eigen'in çevresinde şekillenen tartışmalara Gerald Adam ve Max Delbrück çarpıcı bir öneriyle katıldı. Hücre zarı, iki boyutlu bir yüzeydir. Bir molekül zarın üzerine tutunduğu anda, artık üç boyutta değil iki boyutta yürümeye başlar. Ve Pólya'nın teoremi tam burada devreye girer: iki boyutta arama artık kaçışa değil, kesinliğe mahkûmdur. Hücre, hedefini bulma olasılığını artırmak için arama uzayının boyutunu düşürür. Buna boyut indirgeme dendi.

Aynı hile, hücrenin en kritik işlerinden birinde daha karşımıza çıkıyor. Bir düzenleyici protein, milyonlarca harflik bir DNA zincirinin içindeki tek bir kısa diziyi bulmak zorunda. 1970'te yapılan ölçümler, bakterilerdeki bir düzenleyici proteinin hedefini, saf üç boyutlu difüzyonun izin verdiğinden çok daha hızlı bulduğunu gösterdi. Bu, adeta fizik yasasının delinmesi gibi görünüyordu. Sonraki on yılda çözüldü: protein sadece üç boyutta yüzmüyordu. DNA'ya rastgele bir yerinden tutunuyor, sonra iplik boyunca bir boyutlu olarak kayıyor, kısa bir mesafe tarıyor, kopuyor, tekrar üç boyutta zıplayıp başka bir yerden tutunuyordu. Bir boyutlu tarama ile üç boyutlu sıçramanın bu karışımına kolaylaştırılmış difüzyon adı verildi. Doğa, boyutlar arasında gidip gelerek hem tek boyutun titizliğini hem üç boyutun hızını satın alıyordu.

Peki ya gerçek kuşlar? Gerçek hayvanlar rastgele yürüyor mu?

Tam olarak değil, ve bu da hikâyenin öbür yarısı. Bir bakteri, örneğin bağırsak bakterisi, kamçılarını çevirerek yaklaşık bir saniye düz gider, sonra kısa bir an takla atıp yönünü tamamen rastgele değiştirir. Saf bir rastgele yürüyüş. Ama besin derişiminin arttığı yöne doğru giderken düz gitme süresini biraz uzatır, kötü yönde biraz kısaltır. Tek başına küçücük bir müdahale; sonucu ise, tamamen kör bir hücrenin gıdayı sistematik biçimde bulması. Yani doğa rastgeleliği yok etmiyor, ona hafif bir yanlılık ekliyor. Kaybolmanın matematiğini bulmanın matematiğine çeviren şey, o küçücük yanlılıktır.

Buna bir de bellek ve duyu eklenir. Bir arı yuvasının yönünü güneşe göre hesaplar, bir güvercin manyetik ve görsel ipuçlarını birleştirir, bir albatros rüzgârı ve koku izlerini okur. Bunların hepsi, açık denizde sarhoş kuş olmayı reddetmenin yollarıdır. Nitekim hayvanların arama desenlerinin ne kadar rastgele olduğu, biyolojinin hâlâ tartıştığı bir konudur. 1990'ların ortasında albatrosların, ara sıra çok uzun sıçramalar içeren özel bir rastgele desenle beslendiği öne sürülmüş, bu iddia yıllarca yaygın biçimde alıntılanmıştı. 2000'lerin sonunda aynı veriler yeniden incelendiğinde, uzun sıçramalar sanılan kayıtların bir bölümünün kuşun yuvada geçirdiği süreden kaynaklanan bir ölçüm yanılsaması olduğu görüldü. Sonuç düzeltildi. Konu bugün hâlâ açık bir araştırma alanı; hangi hayvanın hangi koşulda hangi desenle aradığı, veriye bakılarak tartışılıyor.

Ve geriye, o ilk sokak lambasının altındaki adam kalıyor. Onun hikâyesinin asıl dersi, sarhoşlukla ilgili değil. Aynı kurallara uyan, aynı körlükte, aynı hafızasızlıkta iki gezgin düşünün. Birini bir çizgiye, birini bir hacme koyun. Birinin dönüşü kesin, öbürününki neredeyse imkânsız. Aralarındaki tek fark, içinde bulundukları uzayın kaç yön sunduğu. Kaderlerini karakterleri değil, geometrileri belirliyor.

Belki de üç boyutlu bir evrende yaşıyor olmamız, canlılığın neden bu kadar çok zar, bu kadar çok yüzey, bu kadar çok iplik ve kanal icat ettiğini açıklıyor. Üç boyut, kaybolmanın kolay olduğu bir yerdir. Hayat, kaybolmayı zorlaştırmak için sürekli olarak kendine daha alçak boyutlar inşa eder.

Nöron Bilim'de bugünkü bölümün sonuna geldik. Yeni bir hikâyede yeniden buluşmak üzere.